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为什么好多优化问题都是二次规划问题,能否深层次的解释一下?

时间:2024-07-11 17:57人气:编辑:佚名

线性规划(LP,也称为线性优化)是在需求由线性关系表示的数学模型中实现最佳结果(如最大利润或最低成本)的一种方法。线性规划是数学规划的一个特例(也称为数学优化)。

更正式地说,线性规划是线性目标函数优化的一种技术,受线性等式和线性不等式约束的限制。其可行区域是一个凸多面体,它是一个集合,定义为有限多个半空间的交集,每个空间由线性不等式定义。其目标函数是在这个多面体上定义的实值仿射(线性)函数。线性规划算法 在多面体中找到这个函数具有最小(或最大)值的点,如果这样的点存在的话。

线性规划是可以在表达问题的规范形式为

 \\begin{align}& \	ext{minimize}&& \\mathbf{c}^\\mathrm{T}\\mathbf{x}\\\\ & \	ext{subject to}&& A \\mathbf{x}\\leq \\mathbf{b}\\\\ & \	ext{and}&& \\mathbf{x}\\ge \\mathbf{0}\\end{align}

Quadratic programming , a superset of linear programming 二次规划 是 线性规划的超集

二次规划(Quadratic programming),在运筹学当中,是一种特殊类型的最佳化问题。

二次规划(QP)是解决特殊类型的数学优化 问题的过程,具体地说,是一个(线性约束的)二次优化问题,即优化(最小化或最大化)几个受线性变量影响的二次函数的问题对这些变量的限制。二次规划是一种特殊类型的非线性规划。


在数学中,非线性规划是求解由一系列未知实函数组成的组方程和不等式(统称为约束)定义的最优化问题,伴随着一个要被最大化或最小化的目标函数,只是一些约束或目标函数是非线性的。[1]它是最优化处理非线性问题的一个子领域。

解决问题的方法

  1. 如果目标函数f是线性的并且约束空间是多面体,则问题是线性规划问题,其可以使用诸如单纯形法之类的众所周知的线性规划技术来解决。
  2. 如果目标函数是凹的(最大化问题)或凸(最小化问题)并且约束集是凸的,那么该程序称为凸,并且在大多数情况下可以使用来自凸优化的通用方法。
  3. 如果目标函数是二次的且约束是线性的,则使用二次规划技术。
  4. 如果目标函数是凹函数和凸函数的比率(在最大化情况下)并且约束是凸的,那么可以使用分数规划技术将问题转化为凸优化问题。
  5. 有几种方法可用于解决非凸线问题。一种方法是使用线性规划问题的特殊表达式。另一种方法涉及使用分支和绑定技术,其中程序被划分为要用凸(最小化问题)解决的子类或线性近似,其形成细分内的总成本的下限。在随后的划分中,在某一点上将获得实际的解决方案,其成本等于任何近似解的最佳下限。该解决方案是最佳的,尽管可能不是唯一的。该算法也可以提前停止,并保证最佳解决方案处于找到最佳点的容差范围内; 这些点被称为ε-最优。终止于ε-最佳点通常是确保有限终止所必需的。这对大型问题尤其有用
  6. 在差异性和约束条件下,Karush-Kuhn-Tucker(KKT)条件为解决方案提供了最佳条件。在凸面下,这些条件也是足够的。如果某些功能不可微,次微分的版本Karush -库恩-塔克(KKT)条件下是可用的
标签: 线性   规划   问题   函数  
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